BigInt与IEEE-754

小数的进制转换

小数的十进制转换为二进制，二进制转换为十进制

• 十进制转换为二进制

20.25 = 20 + 1/4 = 16 + 4 + 1/4 = 10100.01

• 二进制转换为十进制

10100.01 = 1 * 2 ** 4 + 1 * 2 ** 2 + 1 * 2 ** (-2)

IEEE-754

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。

这个标准定义了：

• 表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number）
• 一些特殊数值（（无穷（Inf）与非数值（NaN））
• 这些数值的“浮点数运算符”

也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。

它规定了4种表示浮点数的方式：

• 单精度（32位）
• 双精度（64位）
• 延伸单精度（43位以上，但很少使用）
• 延伸双精度（79位以上，通常以80位实现）

浮点数表示

一个浮点数的实际值可以这样表示：

$$Value=sign\times exponent\times fraction$$

其中：

• sign表示符号位
• exponent表示指数偏移值，也称为阶码

INFO

exponent等于指数的实际值+某个固定的值，IEEE-754规定这个固定值是2^n-1-1，其中n为指数域长度

例如：32位单精度的指数域长度为8个比特，那么这个固定值就是2^8-1-1=127

• fraction表示分数值，有时也称为尾数。用于存储数值的小数部分

用公式表示如下：

$$Number=(-1{)}^{sign}\cdot (1+fraction)\cdot 2^{exponent}$$

用图表示如下：

各部分位数

单精度和双精度的各个部分位数长度如下：

类型	符号位	指数偏移值	尾数
单精度	1（最高位）	8（ [23,31) ）	23（ [0,23) ）
双精度	1（最高位）	11（ [52,63) ）	52（ [0,52) ）

以单精度为例，举例说明在IEE-754下浮点数的转换

• 十进制转换为浮点数

  78.125 = 1001110.001₂=1.001110001₂ * 2⁶

阶码部分：6+127=133=10000101₂，最终得到的32位浮点数表示为：

0_10000101_00111000100000000000000₂

WARNING

尾数部分只存储小数部分，IEEE-754规定最高位默认为1，故省略。在转换为十进制时自动加上

• 浮点数转换为十进制

0_10000101_00111000100000000000000₂

尾数部分为：1.001110001₂

阶数部分为：10000101₂ = 133 => 133 - 127 = 6

最终转换为十进制表示下的数值为：1.001110001₂ * 2⁶ = 1001110.001₂ = 78.125

INFO

在相互转换时，需要来回加或减2^n-1-1（其中n为指数域长度），这样不是很麻烦么？

对于任意一个浮点数而言，它不仅仅符号位可能为负，而且指数部分也可能为负（例如0.125）。其实IEEE-754指定的这种计算规则，是为了确保指数部分恒为正数。

这样可以简化两个浮点数的比较过程，只需要按位从高到底进行比较即可

浮点表示法

以上介绍的时IEEE-754种最常见的规格化浮点表示法，此外还有零、非规格化、无穷、NaN这4种表示法。

以单精度为例：

类型	符号数	实际指数	指数偏移值	尾数
0	0	-127	0	000 0000 0000 0000 0000 0000
-0	1	-127	0	000 0000 0000 0000 0000 0000
正无穷	0	128	255	000 0000 0000 0000 0000 0000
负无穷	1	128	255	000 0000 0000 0000 0000 0000
NaN	*	128	255	非全0

正数下，最大的非规格化数等于最小的规格化数。如果一个浮点数的指数部分为0，尾数部分不为0，那么这个数应该按照非规格化浮点数来解析

number

在JavaScript中，数字不分为整数类型和浮点型类型，所有的数字都是由浮点型类型。

JavaScript 采用 IEEE754 标准定义的 64 位浮点格式表示数字，一个数值可以容纳的最大值是 2¹⁰²⁴ - 1（指数为 1023，尾数为基于二进制的 0.1111…），可以通过 Number.MAX_VALUE 获得。

超过这个值的数会被替换为特殊的数值常量 Infinity。

极值：

• 最大值（Number.MAX_VALUE）为 ±1.7976931348623157e+308
• 最小值（Number.MIN_VALUE）为 ±5e-324。

只有在 -2⁵³ + 1 到 2⁵³ - 1 范围内（闭区间）的整数才能在不丢失精度的情况下被表示（可通过 Number.MIN_SAFE_INTEGER 和 Number.MAX_SAFE_INTEGER 获得），因为尾数只能容纳 53 位（包括前导 1）。

超出这个范围的值就无法保证比较是正确的，例如：

2 ** 53 === 2 ** 53 + 1; // true

如果需要对超出这个范围的值进行运算，可以通过ES6提供的BigInt对象

BigInt

BigInt 是一种内置对象，它提供了一种方法来表示大于 2^53 - 1 的整数。这原本是 Javascript 中可以用 Number 表示的最大数字。BigInt 可以表示任意大的整数。

不过，它不适合加密，因为它并没有考虑防止时序攻击

INFO

什么是时序攻击？

在给定的算法中，如果输入值不同，程序的执行时间也会不同。攻击者可以根据执行时间，不断调整输入值位数上的值来得到正确的输入值。

解决方案：

给定一个标志位，即使不同的输入值，也只会在给定时间节点返回。

参考：

【1】讲一讲关于js的number类型

【2】JavaScript Number 对象

【3】IEEE 754

【4】从科学记数法到浮点数标准IEEE 754

【5】Number

【6】BigInt