两条隐式直线的相交性检测

分为在2D和3D的情况

2D

2D中的相交性检查比较简单，联立方程组求解即可

{\begin{matrix} x a_{1} + y b_{1} = d_{1} \\ x a_{2} + y b_{2} = d_{2} \end{matrix}

求得相交点的表达式

x = \frac{b_{2} d_{1} - b_{1} d_{2}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}

y = \frac{a_{1} d_{2} - a_{2} d_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}

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在3D中有两条射线，分别是r₁、r₂

r_{1} (t_{1}) = p_{1} + t_{1} d_{1}

r_{2} (t_{2}) = p_{2} + t_{2} d_{2}

为了具有一般性，我们不限制t的范围，也不限制d为单位向量。

相对于2D中的直线相交性检查，3D中会存在两个直线不再同一个平面上，所有有以下4种情况

那么在3D中两条射线的交点有

t_{1} = \frac{((p_{2} - p_{1}) \times d_{2}) (d_{1} \times d_{2})}{{‖ \begin{matrix} d_{1} \times d_{2} \end{matrix} ‖}^{2}}

t_{2} = \frac{((p_{2} - p_{1}) \times d_{1}) (d_{1} \times d_{2})}{{‖ \begin{matrix} d_{1} \times d_{2} \end{matrix} ‖}^{2}}

上述讨论并没有限制射线的长度，如果有长度限制，那么需要做适当的边界检查