正交矩阵

如果一个矩阵是正交的，那么它与它的转置矩阵的乘积为单位矩阵。正交性是只有方阵才具有的性质。

M M^{T} = I

这也可以用来检查矩阵是否有正交性。

对于方阵而言，也满足以下性质

M M^{- 1} = I

因此如果一个矩阵是正交的，那么矩阵的转置等于矩阵的逆

M^{- 1} = M^{T}

INFO

正交矩阵在实际应用中经常出现的，而且在实际矩阵中会经常计算矩阵的逆，因此我们可以根据上述公式轻易计算出逆矩阵。

几何解释

首先我们根据定义可知

[\begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} m_{11} & m_{21} & m_{31} \\ m_{12} & m_{22} & m_{32} \\ m_{13} & m_{23} & m_{33} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

则有以下等式成立

m_{11} m_{11} + m_{12} m_{12} + m_{13} m_{13} = 1

m_{11} m_{21} + m_{12} m_{22} + m_{13} m_{23} = 0

m_{11} m_{31} + m_{12} m_{32} + m_{13} m_{33} = 0

m_{21} m_{11} + m_{22} m_{12} + m_{23} m_{13} = 0

m_{21} m_{21} + m_{22} m_{22} + m_{23} m_{23} = 1

m_{21} m_{31} + m_{22} m_{32} + m_{23} m_{33} = 0

m_{31} m_{11} + m_{32} m_{12} + m_{33} m_{13} = 0

m_{31} m_{21} + m_{32} m_{22} + m_{33} m_{23} = 0

m_{31} m_{31} + m_{32} m_{32} + m_{33} m_{33} = 1

由于矩阵中的每行或列都可以看作是一个基向量，则有

p p = 1

p q = 0

p r = 0

q p = 0

q q = 1

q r = 0

r p = 0

r q = 0

r r = 1

可知：

WARNING

在线性代数中

$img.png$

由于计算过程中精度的丢失、坏数据等问题导致得到的矩阵并不是严格意义上的正交矩阵，通过施密特正交化公式可以计算出标准的正交矩阵

r_{1}^{^{'}} = r_{1}

r_{2}^{^{'}} = r_{2} - \frac{r_{2} \cdot r_{1}^{^{'}}}{r_{1}^{^{'}} \cdot r_{1}^{^{'}}} r_{1}^{^{'}}

r_{3}^{^{'}} = r_{3} - \frac{r_{3} \cdot r_{2}^{^{'}}}{r_{2}^{^{'}} \cdot r_{2}^{^{'}}} r_{2}^{^{'}} - \frac{r_{3} \cdot r_{1}^{^{'}}}{r_{1}^{^{'}} \cdot r_{1}^{^{'}}} r_{1}^{^{'}}

因此在对矩阵进行计算时，最好一开始就进行标准化，这样就可以免去除法了

施密特正交化存在误差，为了得到更加精确的正交矩阵，引入因子k并改变k的大小计算多次

r_{1}^{^{'}} = r_{1} - k \frac{r_{1} \cdot r_{2}}{r_{2} \cdot r_{2}} r_{2} - k \frac{r_{1} \cdot r_{3}}{r_{3} \cdot r_{3}} r_{3}

r_{2}^{^{'}} = r_{2} - k \frac{r_{2} \cdot r_{1}}{r_{1} \cdot r_{1}} r_{1} - k \frac{r_{2} \cdot r_{3}}{r_{3} \cdot r_{3}} r_{3}

r_{3}^{^{'}} = r_{3} - k \frac{r_{3} \cdot r_{1}}{r_{1} \cdot r_{1}} r_{1} - k \frac{r_{3} \cdot r_{2}}{r_{2} \cdot r_{2}} r_{2}

例如计算10次，上次的计算结果是下次计算的输入（管道-过滤器模式），得到最终的正交矩阵。

参考