旋转

这里我们先不考虑平移，而且进一步限制物体只围绕着原点旋转，旋转角度为θ

2D

经常认为逆时针是正方向，顺时针是反方向

对应的转换矩阵为：

$$M=\left[\begin{array}{c}{p}^{{}^{\prime }}\\ q^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

3D

在左手坐标系、右手坐标系中，而且根据所处的位置不同看到的正方向也是不同的

例如在左手坐标系中判断正方向时，左手大拇指方向朝向对应轴的正端点，四指弯曲的方向为旋转的正方向。

从哪里看也会影响正方向的判断，一般认为是从原点看向对应端点，对应表格中的从轴的负端点向正端点看。

绕坐标轴旋转

绕x轴旋转

去掉球体，简化后的图形

可以得出转换矩阵为：

$$M=\left[\begin{array}{c}{p}^{{}^{\prime }}\\ q^{{}^{\prime }}\\ r^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & \sin \theta \\ 0& -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

绕y轴旋转

可以得出转换矩阵为：

$$M=\left[\begin{array}{c}{p}^{{}^{\prime }}\\ q^{{}^{\prime }}\\ r^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$

绕z轴旋转

可以得出转换矩阵为：

$$M=\left[\begin{array}{c}{p}^{{}^{\prime }}\\ q^{{}^{\prime }}\\ r^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

绕任意轴旋转

在三维中，向量绕任意轴旋转情况更复杂，但是也更少见。这里我们依旧不考虑平移，假设旋转轴通过原点。

假设旋转轴为n且为单位向量，旋转角度为θ，需要旋转的向量是v，我们要计算出满足以下条件的矩阵：

$$vR(n,\theta )=v^{{}^{\prime }}$$

用n、r、θ表示转换后的向量

推导过程如下：

将向量v拆分为水平方向上的向量：

$$v_{\parallel }$$

垂直方向上的向量：

$$v_{\perp }$$

而且

$$v=v_{\parallel }+v_{\perp }$$

对应的旋转后的向量也满足：

$$v^{{}^{\prime }}=v_{\parallel }^{{}^{\prime }}+v_{\perp }^{{}^{\prime }}$$

而且旋转时，旋转后向量水平方向上的分量与原向量水平方向的分量相等

$$v_{\parallel }^{{}^{\prime }}=v_{\parallel }=n\frac{\Vert \begin{array}{c}v\end{array}\Vert \cos \alpha }{\Vert \begin{array}{c}n\end{array}\Vert }=n\frac{\Vert \begin{array}{c}v\end{array}\Vert \Vert \begin{array}{c}n\end{array}\Vert \cos \alpha }{{\Vert \begin{array}{c}n\end{array}\Vert }^2}=(v·n)n$$

所以我们只需要计算出v_⊥^'即可计算出旋转后向量v^'

原向量v的水平分量和旋转轴n构成一个平面，并且向量w为该平面的法向量，根据叉乘的几何意义可知：

$$w=n\times v_{\perp }$$

而且向量w的长度等于向量n和向量v_⊥构成的平行四边形面积，而且向量n与向量v_⊥相垂直，所以围成的多边形是矩形。又因为向量n为单位向量，长度固定为1，所以向量w的长度等于向量v_⊥的长度

旋转后的向量的垂直分量可以表示为：

$$v_{\perp }^{{}^{\prime }}=v_{\perp }\cos \theta +w\sin \theta$$

将已知的信息带入上述公式可知：

$$\begin{array}{rlr}{v}^{{}^{\prime }}& & \\ & =v_{\parallel }^{{}^{\prime }}+v_{\perp }^{{}^{\prime }}& \\ & =(v·n)n+v_{\perp }\cos \theta +(n\times v)\sin \theta \\ & =(v·n)n+(v-(v·n)n)\cos \theta +(n\times v)\sin \theta \end{array}$$

将三维坐标轴的基向量分别带入上述表表达式

将x轴的基向量带入可知

$$p=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]$$$$\begin{array}{rl}{p}^{{}^{\prime }}& \\ & =(p·n)n+(p-(p·n)n)\cos \theta +(n\times p)\sin \theta \\ & =(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right]+(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]-(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right])\cos \theta +(\left[\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right])\sin \theta \\ & =\left[\begin{array}{c}{n}_x^2(1-\cos \theta )+\cos \theta \\ n_x{n}_y(1-\cos \theta )+n_z\sin \theta \\ n_x{n}_z(1-\cos \theta )-n_y\sin \theta \end{array}\right]\end{array}$$

相应的计算出q^'、r^'

$$q=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]$$$$q^{{}^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}{n}_x{n}_y(1-\cos \theta )-n_z\sin \theta \\ n_y^2(1-\cos \theta )+\cos \theta \\ n_y{n}_z(1-\cos \theta )+n_x\sin \theta \end{array}\right]$$$$r=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$$$$r^{{}^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}{n}_x{n}_z(1-\cos \theta )+n_y\sin \theta \\ n_y{n}_z(1-\cos \theta )-n_x\sin \theta \\ n_z^2(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{array}\right]$$

最终得到的矩阵为：

$$R(n,\theta )=\left[\begin{array}{c}{p}^{{}^{\prime }}\\ q^{{}^{\prime }}\\ r^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{n}_x^2(1-\cos \theta )+\cos \theta & n_x{n}_y(1-\cos \theta )+n_z\sin \theta & n_x{n}_z(1-\cos \theta )-n_y\sin \theta \\ n_x{n}_y(1-\cos \theta )-n_z\sin \theta & n_y^2(1-\cos \theta )+\cos \theta & n_y{n}_z(1-\cos \theta )+n_x\sin \theta \\ n_x{n}_z(1-\cos \theta )+n_y\sin \theta & n_y{n}_z(1-\cos \theta )-n_x\sin \theta & n_z^2(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{array}\right]$$

INFO

为什么这个等式是成立的呢？

$$v_{\perp }^{{}^{\prime }}=v_{\perp }\cos \theta +w\sin \theta$$

已知

$$\Vert \begin{array}{c}AB\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{c}AD\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{c}AC\end{array}\Vert$$

推导过程如下：

$$AG=AB\frac{\Vert \begin{array}{c}AG\end{array}\Vert }{\Vert \begin{array}{c}AB\end{array}\Vert }=AB\frac{\Vert \begin{array}{c}AD\end{array}\Vert \cos \theta }{\Vert \begin{array}{c}AB\end{array}\Vert }=AB·\cos \theta$$$$AF=AC\frac{\Vert \begin{array}{c}AF\end{array}\Vert }{\Vert \begin{array}{c}AC\end{array}\Vert }=AC\frac{\Vert \begin{array}{c}AD\end{array}\Vert \sin \theta }{\Vert \begin{array}{c}AC\end{array}\Vert }=AC·\sin \theta$$$$AD=AG+AF=AB·\cos \theta +AC·\sin \theta$$