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矩阵的逆 ​

矩阵的逆只适用于方阵，用M-1表示，并且满足

M·M−1=I

其中I为对应维度下的单位矩阵

并非所有的矩阵都有逆矩阵，例如某一行或列都为0的矩阵，不存在任何矩阵与其相乘得到单位矩阵。

如果一个矩阵可逆，那么称该矩阵为非奇异的；反之则称为奇异矩阵。

INFO

  • 非奇异等价于可逆，奇异等价于不可逆
  • 奇异矩阵的行列式值为0，非奇异矩阵的行列式值不为0

如果方阵的行列式值不为0，那么这个矩阵是可逆的

矩阵的逆可以通过“标准伴随矩阵”计算，“标准伴随矩阵”记作“adj M”，满足

M−1=adjM|M|

例如：

M=[−4−3302−214−1]

计算出每个元素的代数余子式

c11=+|2−24−1|=6c12=−|0−21−1|=−2c13=+|0214|=−2c21=−|−334−1|=9c22=+|−431−1|=1c23=−|−4−314|=13c31=+|−332−2|=0c32=−|−430−2|=−8c33=+|−4−302|=−8

最终得到adjM为

adjM=[c11c12c13c21c22c23c31c32c33]T=[6−2−291130−8−8]T=[690−21−8−213−8]

带入上述公式可知：

M−1=adjM|M|=[690−21−8−213−8](−124)=[−14−380112−12413112−132413]

INFO

高斯消元法也可以用于计算矩阵的逆，它在计算高阶矩阵时性能更好。但是对于低阶矩阵，使用标准伴随矩阵方式计算性能更好

几何解释 ​

逆矩阵表示对变换的撤销，将变换后的坐标系下的基向量恢复为原坐标系下的基向量。

重要性质 ​

  • 如果矩阵M为非奇异矩阵，那么该逆矩阵的逆等于原矩阵
(M−1)−1=M
  • 单位矩阵的逆是它本身
I−1=I
  • 矩阵逆的转置等于转置的逆
(M−1)T=(MT)−1
  • 与转置性质相同，矩阵乘积的逆等于相反顺序的逆的乘积
(AB)−1=B−1A−1

推广到n个矩阵相乘

(M1M2⋯Mn−1Mn)−1=Mn−1Mn−1−1⋯M2−1M1−1